Sumário

1 Coordenadas ortogonais e fun¸c~oes vetoriais 1
1.1 Sistemas de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Diferencia¸c~ao e integra¸c~ao vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Quest~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 For¸ca entre cargas el´etricas 11
2.1 Lei de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 C´alculo da for¸ca el´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Quest~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 For¸ca entre correntes el´etricas 21
3.1 For¸ca magn´etica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 C´alculo da for¸ca magn´etica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Quest~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4 Gradiente de uma fun¸c~ao escalar 29
4.1 Derivada direcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2 Operador gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.3 Quest~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5 Campo el´etrico e potencial el´etrico 35
5.1 Conceitos de campo el´etrico e potencial el´etrico . . . . . . . . . . . 35
5.2 C´alculo de campo el´etrico e potencial el´etrico . . . . . . . . . . . . 36
5.3 Quest~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6 Fluxo e divergente de um campo vetorial 49
6.1 Fluxo de um campo vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.2 Operador divergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.3 Quest~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7 Lei de Gauss el´etrica 59
7.1 Fluxo el´etrico e lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.2 C´alculo de indu¸c~ao el´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
7.3 Quest~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
8 Densidade de fluxo magn´etico e lei de Biot-Savart 65
8.1 Fluxo magn´etico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
8.2 Lei de Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
8.3 C´alculo da indu¸c~ao magn´etica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
8.4 Quest~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
9 Circula¸c~ao e rotacional de um campo vetorial 79
9.1 Circula¸c~ao e operador rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
9.2 C´alculo do rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
9.3 Quest~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
10 Campo magn´etico e lei de Amp`ere 91
10.1 Lei de Amp`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
10.2 C´alculo de campo magn´etico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
10.3 Quest~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
11 Operador laplaciano e potencial magn´etico 99
11.1 Laplaciano e equa¸c~ao de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
11.2 Campo vetorial determinado por seu divergente e seu rotacional . . 100
11.3 Potencial magn´etico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
11.4 Quest~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
12 Continuidade, condi¸c~oes de contorno e m´etodo das imagens 107
12.1 Continuidade em interfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
12.2 Condi¸c~oes de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
12.3 M´etodo das imagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
12.4 Quest~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
13 Equa¸c~ao de Laplace em coordenadas retangulares 123
13.1 Expans~ao em s´erie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
13.2 Solu¸c~ao da equa¸c~ao de Laplace em coordenadas retangulares . . . 127
13.3 Quest~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
14 Equa¸c~ao de Laplace em coordenadas cil´ındricas 143
14.1 Expans~ao em s´erie de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
14.2 C´alculo de potencial em coordenadas cil´ındricas . . . . . . . . . . . 150
14.3 Quest~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
15 Equa¸c~ao de Laplace em coordenadas esf´ericas 161
15.1 Expans~ao em fun¸c~oes de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
15.2 Solu¸c~ao da equa¸c~ao de Laplace em coordenadas esf´ericas . . . . . . 166
15.3 Quest~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
16 Dissipa¸c~ao e armazenamento de energia 179
16.1 Pot^encia dissipada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
16.2 Energia el´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
16.3 Energia magn´etica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
16.4 Quest~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
17 Introdu¸c~ao `a eletrodin^amica 193
17.1 Corrente de deslocamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
17.2 For¸ca eletromotriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
17.3 Acoplamento magn´etico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
17.4 Torque eletrodin^amico e motor de indu¸c~ao . . . . . . . . . . . . . . 206
17.5 Efeito pelicular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
17.6 Quest~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
18 Ondas eletromagn´eticas 219
18.1 Ondas no espa¸co livre n~ao dissipativo . . . . . . . . . . . . . . . . 219
18.2 Ondas no espa¸co livre dissipativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
18.3 Fluxo de pot^encia em uma onda eletromagn´etica . . . . . . . . . . 238
18.4 Quest~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
19 Ondas eletromagn´eticas em interfaces 249
19.1 Polariza¸c~ao da onda eletromagn´etica . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
19.2 Reflex~ao e transmiss~ao com incid^encia normal . . . . . . . . . . . . 251
19.3 Reflex~ao e transmiss~ao com incid^encia obl´ıqua . . . . . . . . . . . . 256
19.4 Reflex~ao nula e reflex~ao total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
19.5 Reflex~ao e transmiss~ao atrav´es de uma parede . . . . . . . . . . . . 262
19.6 Difra¸c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
19.7 Quest~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
20 Radia¸c~ao e espectro eletromagn´etico 281
20.1 Potencial retardado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
20.2 Dipolo hertziano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
20.3 Radia¸c~ao de part´ıculas carregadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
20.4 Espectro eletromagn´etico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
20.5 Transforma¸c~oes de Lorentz do
campo eletromagn´etico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
20.6 Quest~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
21 For¸ca e movimento na intera¸c~ao da mat´eria com
o campo eletromagn´etico 309
21.1 Movimento de part´ıculas no v´acuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
21.2 Movimento de part´ıculas em um meio condutor . . . . . . . . . . . 314
21.3 Rela¸c~oes entre for¸ca e intensidade de campo:
tensor das tens~oes de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
21.4 Quest~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
22 Estrutura eletr^onica e condutores 327
22.1 Estrutura cristalina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
22.2 For¸cas intermoleculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
22.3 Bandas de energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
22.4 Condu¸c~ao em semicondutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
22.5 Supercondutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
22.6 Condu¸c~ao em isolantes amorfos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
22.7 Quest~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
23 Polariza¸c~ao el´etrica 363
23.1 Dipolo el´etrico e polarizabilidade molecular . . . . . . . . . . . . . 363
23.2 Polariza¸c~ao macrosc´opica e rela¸c~ao constitutiva . . . . . . . . . . . 367
23.3 Polariza¸c~ao ferroel´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
23.4 Campo de rea¸c~ao e fator de despolariza¸c~ao . . . . . . . . . . . . . 376
23.5 Energia de polariza¸c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
23.6 Polariza¸c~ao de um objeto esf´erico em
um campo uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
23.7 Quest~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
24 Dispers~ao e ruptura diel´etrica 393
24.1 Resson^ancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
24.2 Relaxa¸c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
24.3 Dispers~ao por carga espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
24.4 Dispers~ao por saltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
24.5 Ruptura diel´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
24.5.1 Ruptura em gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
24.5.2 Ruptura em l´ıquidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
24.5.3 Ruptura em s´olidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
24.6 Quest~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
25 Magnetiza¸c~ao 417
25.1 Momento de dipolo magn´etico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
25.2 Magnetiza¸c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
25.3 Lei Curie-Weiss e transi¸c~ao ferromagn´etica . . . . . . . . . . . . . . 424
25.4 Modelo qu^antico da magnetiza¸c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
25.5 Estado ferromagn´etico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
25.6 Rela¸c~ao constitutiva magn´etica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
25.7 Energia armazenada e energia dissipada na magnetiza¸c~ao . . . . . 439
25.8 Permeabilidade magn´etica como fun¸c~ao
da frequ^encia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
25.9 Quest~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
26 Circuito magn´etico 455
26.1 Campo desmagnetizante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
26.2 For¸ca magnetomotriz e relut^ancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
26.3 Circuito magn´etico com ´ım~a permanente . . . . . . . . . . . . . . . 470
26.4 For¸ca e torque em circuitos magn´eticos . . . . . . . . . . . . . . . . 473
26.5 Quest~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476
27 C´alculo eletromagn´etico computacional 481
27.1 Integra¸c~ao computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
27.2 M´etodo das diferen¸cas finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
27.3 M´etodo das diferen¸cas finitas no dom´ınio tempo . . . . . . . . . . . 494
27.4 M´etodo dos elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502
27.5 M´etodo dos momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514
27.6 Quest~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520
28 Linhas de transmiss~ao 523
28.1 Circuito equivalente de uma linha de transmiss~ao . . . . . . . . . . 523
28.2 Solu¸c~ao geral para tens~ao e corrente
na linha de transmiss~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528
28.3 Sistema sem reflex~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532
28.4 Sistema com reflex~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535
28.5 Transit´orio na linha de transmiss~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . 538
28.6 Fluxo de pot^encia na linha de transmiss~ao . . . . . . . . . . . . . . 540
28.7 Aproxima¸c~oes para Zo e γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543
28.8 Distor¸c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548
28.9 Imped^ancia na linha de transmiss~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . 550
28.10Casamento de imped^ancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553
28.10.1 Acoplador com rede de reat^ancias . . . . . . . . . . . . . . 553
28.10.2 Acoplador com transformador de quarto de onda . . . . . . 556
28.10.3 Acoplador com stub simples . . . . . . . . . . . . . . . . . 558
28.11Quest~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561
9 Guias de onda 565
29.1 Equa¸c~oes dos campos em um guia de onda retangular . . . . . . . 565
29.2 Modos TM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568
29.3 Modos TE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570
29.4 Caracter´ısticas de propaga¸c~ao no guia de onda retangular . . . . . 572
29.5 Pot^encia transportada e atenua¸c~ao
em um guia de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575
29.6 An´alise de um guia de onda circular . . . . . . . . . . . . . . . . . 582
29.7 Acoplamento de sinal em um guia de onda . . . . . . . . . . . . . . 587
29.8 Cavidades ressonantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589
29.9 Guia de onda diel´etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594
29.10Quest~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605
0 Teoria das antenas 607
30.1 Enlace por ondas eletromagn´eticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607
30.1.1 Pot^encia irradiada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608
30.1.2 Ganho diretivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610
30.1.3 Diagrama de irradia¸c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610
30.1.4 Imped^ancia da antena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611
30.1.5 Reciprocidade e acoplamento entre antenas . . . . . . . . . 613
30.1.6 F´ormula de transmiss~ao de Friis . . . . . . . . . . . . . . . 618
30.2 Antena dipolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 620
30.2.1 Distribui¸c~ao de corrente em uma antena dipolo . . . . . . . 621
30.2.2 Campos e pot^encia irradiada por uma antena dipolo . . . . 621
30.2.3 Imped^ancia da antena dipolo . . . . . . . . . . . . . . . . . 625
30.2.4 Efeitos da reflex~ao em uma superf´ıcie horizontal . . . . . . 629
30.3 Antena em anel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645
30.4 Quest~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654
31 Antenas direcionais 657
31.1 Conjunto de antenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657
31.2 Imped^ancia m´utua entre antenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663
31.3 Antena corneta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677
31.4 Antena com refletor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682
31.5 Quest~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686
32 Propaga¸c~ao na atmosfera terrestre 689
32.1 Propaga¸c~ao em um plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689
32.2 Ondas de superf´ıcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697
32.3 Propaga¸c~ao na troposfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699
32.4 Propaga¸c~ao na ionosfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704
32.5 Quest~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710
33 Refer^encias 711