Sumário

Nota do Autor

Agradecimentos

Notação

1 Funções
1.1 Definições e propriedades
1.2 Funções elementares
1.2.1 Função polinomial
1.2.2 Função afim
1.2.3 Função quadrática
1.2.4 Função potência
1.2.5 Função racional
1.2.6 Função exponencial
1.2.7 Função logarítmica
1.2.8 Funções trigonométricas
1.3 Funções definidas por partes
1.3.1 Função de Heaviside
1.3.2 Função sinal
1.3.3 Funções módulo, caixa e indicadora
1.4 Limite e continuidade
1.4.1 Limites laterais
1.4.2 Função contínua
Exercícios adicionais

2 Operações sobre funções
2.1 Combinação de funções
2.2 Composição de funções
2.3 Função inversa
2.4 Operações morfológicas sobre funções
2.4.1 Translação
2.4.2 Compressão/dilatação
2.4.3 Reflexão
2.5 Funções Periódicas
2.6 Extensões Periódicas
2.7 Funções Pares e ímpares
2.8 Extensões pares e ímpares
2.9 Remoção de descontinuidade de salto
2.10 Função causal
2.10.1 Construção de uma função causal
2.10.2 Relações entre extensões par e ímpar de função causal
Exercícios adicionais

3 Exemplos de funções em geofísica
3.1 A função gaussiana
3.2 A ondaleta de Ricker
3.3 A ondaleta de Gabor
3.4 A função seno-cardinal sinc
3.5 A curva de Hubbert para o pico da produção de petróleo
3.6 A lei de Faust para velocidades sísmicas
3.7 A relação de Gardner para a densidade
3.8 Decaimento radioativo
3.9 O modelo da gravidade normal para o globo terrestre
3.10 Tempo de trânsito para o raio sísmico refletido
3.11 Estudo de simetria em dado sísmico de fonte comum
Exercícios adicionais

4 Derivada definições e propriedades
4.1 Derivada de uma função
4.1.1 Interpretação geométrica da derivada
4.1.2 Construção de reta tangente
4.2 Derivadas de funções elementares e propriedades
4.2.1 Propriedades
4.2.2 Derivadas de ordens superiores
4.3 Regra da cadeia
4.4 Derivadas de funções inversas
Exercícios adicionais

5 Aplicações da derivada I - estudo de funções
5.1 Estudo de funções
5.1.1 Monotonicidade
5.1.2 Pontos críticos de uma função
5.2 Determinação do mergulho de uma interface refletora
5.3 Calculo dos pontos de reflexão de um raio sísmico
5.4 Lei de Snell-Descartes
5.4.1 Lei de Snell-Descartes para o raio refletido
5.4.2 Lei de Snell-Descartes para o raio transmitido
Exercícios adicionais

6 Aplicações da derivada II - aproximação de Taylor
6.1 Aproximação de Taylor
6.1.1 Condições de interpolação
6.1.2 Polinômio de Taylor
6.2 Método do pêndulo para medição da gravidade residual
6.3 Campo elétrico de um dipolo
6.4 Tempo de reflexão de ondas sísmicas em meios multicamadas
6.4.1 Aproximação pelo método da composição gráfica
6.4.2 Aproximação parabólica
6.4.3 Aproximação hiperbólica
6.4.4 Comparação entre as aproximações dos tempos de trânsito
6.5 Aproximação para o coeficiente de reflexão acústico
6.6 Dados sísmicos sintéticos de reflexão para meios multicamadas
Exercícios adicionais

7 Integral definições e propriedades
7.1 Integral indefinida o problema da antiderivada
7.1.1 Integrais indefinidas de funções elementares
7.2 Integral definida - o problema da área
7.3 Teorema Fundamental do calculo - conexão entre os dois problemas
7.4 Propriedades básicas
7.5 Técnicas de integração
7.5.1 Método da substituição
7.5.2 Integral por partes
7.5.3 Método das frações parciais
7.5.4 Exemplo completo: antiderivada da secante
7.5.5 Método da substituição trigonométrica
Exercícios adicionais

8 Aplicações da integral
8.1 Funções definidas por integrais
8.2 Velocidades RMS e intervalares
8.3 Grau de suavidade de uma função
8.3.1 Alterando o grau de suavidade
8.4 Calculo da trajetória de raio de onda sísmica
8.4.1 Meio homogêneo
8.4.2 Meio com velocidade afim na profundidade
Exercícios adicionais

9 Integral imprópria
9.1 Integral imprópria
9.1.1 Convergência de integrais impróprias
9.1.2 A área sob a curva da gaussiana
9.2 Valor principal de Cauchy
9.3 Convolução
9.4 Transformada de Hilbert
9.5 Introdução ao calculo fracionário
9.5.1 Integral de ordem fracionária
9.5.2 Derivada de ordem fracionária
9.5.3 Calculo fracionário de ordem meia
9.6 Função delta de Dirac
9.7 O modelo convolucional para geração de dados sísmicos sintéticos
9.7.1 Refletividade
Exercícios adicionais

10 Equações diferenciais de primeira ordem
10.1 Definições e propriedades
10.2 Equações separáveis
10.2.1 Equações homogêneas
10.3 Equações lineares
10.3.1 Equações de Bernoulli
10.4 Equações de Riccati
10.5 Exemplos clássicos de aplicação
10.5.1 Lei de Malthus
10.5.2 Lei do decaimento radioativo
10.5.3 Lei do resfriamento de Newton
10.5.4 O modelo logístico
10.6 A curva de Hubbert - previsão do pico de produção de petróleo
10.7 Evolução de curvatura de frente de onda em meios verticalmente
estratificados
10.7.1 Evolução do raio de curvatura
10.7.2 Evolução da curvatura
Exercícios adicionais

11 Série de potências
11.1 Sequências numéricas
11.2 Séries numéricas
11.3 Tipos de séries
11.3.1 Serie geométrica
11.3.2 Serie alternada
11.4 Testes de convergência
11.4.1 Teste da comparação
11.4.2 Teste da razão de d´Alembert
11.4.3 Teste da raiz de Cauchy
11.4.4 Teste da integral de Cauchy
11.5 Séries de potências
11.5.1 Séries de Taylor
11.5.2 Exemplos
11.6 Cálculo de integrais definidas
11.7 Solução de EDO por séries de potências
11.7.1 Método dos coeficientes indeterminados
11.7.2Método da série de Taylor
11.8 O potencial elétrico total de uma camada
Exercícios adicionais

12 Série de Fourier
12.1 Séries trigonométricas
12.1.1 O núcleo de Poisson
12.2 Séries de Fourier
12.2.1 Análise de Fourier
12.2.2 Periodização
12.3 Exemplos
12.3.1 Função onda quadrada
12.3.2 Função onda triangular
12.3.3 Função parabólica truncada
12.4 Séries de senos e de cossenos de Fourier
12.5 Estudo da convergência de séries de Fourier
12.5.1 Estudo empírico
12.5.2 Ordem de convergência
12.6 Análise granulométrica via série de Fourier
12.6.1 Descritores de forma
Exercícios adicionais

13 Transformada de Fourier
13.1 Transformada de Fourier
13.1.1 Motivação: da série à integral de Fourier
13.1.2 Síntese de Fourier
13.1.3 Transformada de Fourier
13.1.4 Transformada de Fourier na forma complexa
13.1.5 Transformadas seno e cosseno de Fourier
13.2 Exemplos de transformada de Fourier
13.2.1 Função caixa
13.2.2 Função dente-de-serra truncada
13.2.3 Função triângulo
13.2.4 Função parabólica truncada
13.2.5 Função gaussiana
13.3 Propriedades
13.3.1 Linearidade
13.3.2 Dualidade
13.3.3 Mudança de escala
13.3.4 Translação
13.3.5 Modulação da amplitude
13.3.6 Transformada da derivada
13.4 Transformada de Fourier da ondaleta de Gabor
13.5 Transformada de Fourier da ondaleta de Ricker
13.6 Teorema da convolução
13.7 Transformada de Fourier de funções generalizadas
13.7.1 Delta de Dirac
13.7.2 Função constante
13.7.3 Função sinal
13.7.4 Função de Heaviside
13.7.5 Funções seno e cosseno
Exercícios adicionais

Apêndice
A Identidades trigonométricas
B Análise do erro da aproximação de Taylor
B.1 Exemplos de aproximação
C Funções gama e beta
C.1 Função gama
C.2 Função beta
C.3 Calculo de T(1=2)
D Números complexos
D.1 Definições e propriedades
D.2 Forma polar
D.3 Forma exponencial
D.4 Representação geométrica
D.5 Potências
D.6 Raízes

Referências Bibliográficas

Índice Remissivo