Sumário

CAPÍTULO 1 – TÓPICOS PRELIMINARES

1.1 Conjuntos, subconjuntos e seus elementos
Subconjuntos e conjunto das partes de um conjunto
Alguns conjuntos numéricos conhecidos

1.2 Operações de união, interseção e complementar em conjuntos
União de conjuntos
Interseção de conjuntos
Complementar de conjuntos
Propriedades

1.3 Produtos cartesianos e relações em conjuntos
Produtos cartesianos
Relações
Domínio e imagem de uma relação

1.4 Relações de equivalência
Partição de um conjunto

1.5 A Relação de congruência módulo m

1.6 Equações de congruências lineares

1.7 O conceito de função
Domínio e contradomínio de uma função
Imagem de uma função
Igualdade de funções

1.8 Funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras

1.9 Composição de funções e inversa de uma função
Composição de funções
Função identidade e a inversa de uma função
Exercícios propostos


CAPÍTULO 2 – OPERAÇÕES BINÁRIAS

2.1 Introdução

2.2 Definição e exemplos

2.3 Operações módulo m e conjunto dos inteiros módulo m
O conjunto dos inteiros módulo m
Operações módulo m

Apêndice: Parte fechada para uma operação

Apêndice: Tábua de uma operação
Construindo a tábua de uma operação
Exemplos

Exercícios propostos


CAPÍTULO 3 – PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES BINÁRIAS

3.1 Propriedades básicas
Comutatividade
Associatividade
Distributividade
Elemento neutro
Elementos simetrizáveis
Elementos regulares

3.2 Propriedades das operações módulo m

Apêndice: Verificando propriedades por meio da tábua de uma operação
Comutatividade
Associatividade
Elemento neutro
Elementos simetrizáveis
Elementos regulares

Exercícios propostos


CAPÍTULO 4 – ELEMENTOS DA TEORIA DE GRUPOS – PARTE I

4.1 O conceito de grupo e propriedades fundamentais
Introdução
O conceito de grupo
Propriedades imediatas

4.2 Exemplos de grupos, ordens e potências
Potências em um grupo
Ordem de um elemento em um grupo

Exercícios Propostos


CAPÍTULO 5 – ELEMENTOS DA TEORIA DE GRUPOS – PARTE II

5.1 Subgrupos
Alguns subgrupos especiais da Teoria de Grupos

5.2 Classes laterais e o Teorema de Lagrange
Classes laterais
O número de elementos de uma classe lateral e o índice de um subgrupo em um grupo
O Teorema de Lagrange

5.3 Subgrupos normais e grupos quocientes
Subgrupos normais
Grupos quocientes
Potências e ordens de elementos em grupos quocientes

5.4 Homomorfismos e isomorfismos de grupos
O conceito de homomorfismo de grupos
O núcleo de um homomorfismo
Caracterização dos grupos cíclicos
O Primeiro Teorema do Isomorfismo
Automorfismos e automorfismos internos de grupos

Apêndice: Alguns teoremas clássicos da Teoria de Grupos e recíprocas parciais para o Teorema de Lagrange
O Teorema de Cayley
A Equação das Classes e os p-grupos
O número de elementos de produtos de subgrupos finitos
O Teorema de Cauchy e os Teoremas de Sylow

Exercícios propostos


CAPÍTULO 6 – ELEMENTOS DA TEORIA DE ANÉIS

6.1 O conceito de anel e exemplos
Introdução
Os conceitos de anel, anel comutativo e anel com unidade
Exemplos de anéis

6.2 Propriedades fundamentais em um anel
Propriedades imediatas
Subtração em um anel
Potências e múltiplos em um anel

6.3 Subanéis e ideais
Subanéis
Ideais

6.4 Anéis de integridade e corpos
Anéis de integridade
Corpos
Quocientes e frações em um corpo

6.5 Anéis quocientes
Corpos e ideais maximais

6.6 Homomorfismos e isomorfismos de anéis
O núcleo de um homomorfismo
O Primeiro Teorema do Isomorfismo para anéis

6.7 O corpo de frações de um anel de integridade

Apêndice: Corpos finitos

Exercícios propostos


CAPÍTULO 7 – ANÉIS DE POLINÔMIOS

7.1 Conceitos e propriedades fundamentais
Definindo polinômios
Adição e multiplicação de polinômios

7.2 Grau de um polinômio

7.3 Algoritmo da Divisão

7.4 Raízes de polinômios

7.5 Métodos de divisão de polinômios
O Método da Chave
O Algoritmo de Briot-Ruffini

7.6 Irredutibilidade e fatoração de polinômios
Critérios de irredutibilidade

Apêndice: Raízes de polinômios e solubilidade por radicais
Raízes racionais de um polinômio em Z[x]
Raízes complexas de um polinômio em R[x]
Um pouco de História

Apêndice: Apanhado sobre anéis euclidianos

Exercícios propostos


RESPOSTAS DE ALGUNS EXERCÍCIOS

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS